Question

过双曲线M：x²-

y2

b2

=1的左顶点A作斜率为2的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且

BC

=2

AB

，则双曲线M的离心率是（　　）

• A．

  5

• B．

  10

• C．

  17

• D．

  37

Answer 1

分析：根据双曲线方程，得渐近线方程为y=-bx或y=bx．设直线l的方程为y=2x+2，与渐近线方程联解分别得到B、C的纵坐标关于b的式子．由

BC

=2

AB

，得3y_B=y_C，利用向量坐标公式建立关于b的方程并解之可得，由此算出c，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：由题可知A（-1，0）所以直线l的方程为y=2x+2
∵双曲线M的方程为x²-

y2

b2

=1，∴两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
由y=2x+2和y=-bx联解，得B的纵坐标为y_B=

2b

b+2

，同理可得C的横坐标为x_C=

2b

b-2

∵

BC

=2

AB

，可得3y_B=y_C，
即

2b

b+2

•3=

2b

b-2

，解之得b=4，（b=0舍去）
因此，c=

a2+b2

=

17

，可得双曲线的离心率e=

c

a

=

17

．
故选C．

点评：本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A的直线相交于B、C两点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．