Question

（2011•开封一模）过双曲线M；x²-

y2

b2

=1（b＞0）的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线的渐近线分别交于B、C两点，且

AB

=

BC

，则双曲线的离心率是（　　）

• A．

  10

• B．

  5

• C．

  15

  2

• D．

  10

  3

Answer 1

分析：根据双曲线方程，得渐近线方程为y=-bx或y=bx．设直线l的方程为y=x+1，与渐近线方程联解分别得到B、C的横坐标关于b的式子．由

AB

=

BC

得B为AC的中点，利用中点坐标公式建立关于b的方程并解之可得b=3，由此算出c=

10

，即可得到该双曲线的离心率．

解答：解：由题可知A（-1，0）所以直线l的方程为y=x+1
∵双曲线M的方程为x²-

y2

b2

=1，∴两条渐近线方程为y=-bx或y=bx
由y=x+1和y=-bx联解，得B的横坐标为x_B=-

1

b+1

同理可得C的横坐标为x_C=

1

b-1

∵

AB

=

BC

，∴B为AC中点，可得2x_B=x_A+x_C，
即-

1

b+1

•2=-1+

1

b-1

，解之得b=3（舍去b=0）
因此，c=

a2+b2

=

10

，可得双曲线的离心率e=

c

a

=

10

故选：A

点评：本题给出双曲线的渐近线与过左顶点A的直线相交于B、C两点且B为AC的中点，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．