Question

过双曲线M：x²-

y2

b2

=1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B，C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（　　）

• A、

  10

• B、

  5

• C、

  10

  3

• D、

  5

  2

Answer 1

分析：过双曲线M：x2-

y2

b2

=1的左顶点A（-1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，若l与双曲线M的两条渐近线x2-

y2

b2

=0，分别相交于点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），联立方程组代入消元得（b²-1）x²+2x-1=0，然后由根与系数的关系求出x₁和x₂的值，进而求出双曲线M的离心率．

解答：解：过双曲线M：x2-

y2

b2

=1的左顶点A（-1，0）作斜率为1的直线l：y=x+1，
若l与双曲线M的两条渐近线x2-

y2

b2

=0分别相交于点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
联立方程组

x2- y2 b2 =0 y=x+1

代入消元得（b²-1）x²-2x-1=0，
∴

x1+x2= 2 b2-1 x1x2= 1 1-b2

，
∴x₁+x₂=-2x₁x₂，
又|AB|=|BC|，则B为AC中点，2x₁=-1+x₂，
代入解得

x1=- 1 4 x2= 1 2

，
∴b²=9，双曲线M的离心率e=

c

a

=

10

，
故选A．

点评：本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意根与系数的关系的运用．