Question

10．已知函数f（x）=1g（a^x-b^x）（a＞1＞b＞0）．
（1）求y=f（x）的定义域；
（2）证明f（x）是增函数；
（3）当a，b满足什么条件时，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析 （1）要使f（x）=lg（a^x-b^x）有意义，只需a^x-b^x＞0，即$（\frac{a}{b}）^{x}$＞1，结合a、b的范围可求出x的取值范围，从而得到函数的定义域；
（2）设g（x）=a^x-b^x，任取x₂＞x₁＞0，然后计算，通过化简变形，整理可判定符号，最后根据函数单调性的定义进行判定，再根据复合函数的单调性即可即可判断．
（3）根据f（x）在（1，+∞）单调递增，则命题f（x）恰在（1，+∞）取正值等价于f（1）=0可得a、b满足的条件．

解答 解：（1）要使函数有意义，必有a^x-b^x＞0，a＞1＞b＞0
可得$（\frac{a}{b}）^{x}$＞1，解得x＞0，
函数的定义域为：（0，+∞）；
（2）设g（x）=a^x-b^x，再设x₁，x₂∈（0，+∞）上的任意两个数，且x₁＜x₂，
则g（x₁）-g（x₂）=${a}^{{x}_{1}}$-${b}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$+${b}^{{x}_{2}}$=（${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$）+（${b}^{{x}_{2}}$-${b}^{{x}_{1}}$），
对于函数y=a^x为增函数，y=b^x为减函数，
∴${a}^{{x}_{1}}$-${a}^{{x}_{2}}$＜0，${b}^{{x}_{2}}$-${b}^{{x}_{1}}$＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）为增函数，
∵y=lgx在（0，+∞）为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）为增函数；
（3）∵）∵f（x）在（1，+∞）单调递增，
∴命题f（x）恰在（1，+∞）取正值等价于：f（1）=0，
∴a-b=1

点评 本题主要考查了对数函数的定义域，以及函数的单调性的判定和应用，同时考查了计算能力，属于中档题．