Question

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D是BC的中点，AA₁=AB=1．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁D；
（II）求二面角B﹣AB₁﹣D的大小．

Answer 1

（I）证明：连接A₁B，设A₁B∩AB₁=E，连接DE．
∵ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁=AB，
∴四边形A₁ABB₁是正方形，
∴E是A₁B的中点，又D是BC的中点，
∴DE∥A₁C．
∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A₁ABB₁内作FG⊥AB₁于点G，连接DG．
∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC，
∴DF⊥平面A₁ABB₁，
∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影，
∵FG⊥AB₁，
∴DG⊥AB₁
∴∠FGD是二面角B﹣AB₁﹣D的平面角
设A₁A=AB=1，在正△ABC中，DF=．
在△ABE中，，
在Rt△DFG中，，
所以，二面角B﹣AB₁﹣D的大小为．