Question

【题目】已知曲线（为常数）.

（i）给出下列结论：

①曲线为中心对称图形；

②曲线为轴对称图形；

③当时，若点在曲线上，则或.

其中，所有正确结论的序号是_________.

（ii）当时，若曲线所围成的区域的面积小于，则的值可以是_________.（写出一个即可）

Answer 1

【答案】①②③ 均可

【解析】

（i）在曲线上任取一点，将点、、代入曲线的方程，可判断出命题①②的正误，利用反证法和不等式的性质可判断出命题③的正误；

（ii）根据时，配方得出，可知此时曲线为圆，且圆的面积为，从而得知当时，曲线所表示的图形面积小于.

（i）在曲线上任取一点，则，

将点代入曲线的方程可得，

同理可知，点、都在曲线上，则曲线关于原点和坐标轴对称，命题①②正确.

当时，，反设且，

则，，所以，，则，

所以，，这与矛盾.

假设不成立，所以，或，命题③正确；

（ii）当时，曲线的方程为，即，即，

此时，曲线表示半径为的圆，其面积为.

当时，且当时，在圆上任取一点，则，则点在曲线外，所以，曲线的面积小于圆的面积.

故答案为：①②③；均可.