Question

19．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，且有S_n=1-a_n（n∈N⁺），点（a_n，b_n）在直线y=nx上，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n．

Answer 1

分析 （1）通过S_n=1-a_n与S_n+1=1-a_n+1作差、计算、整理可知数列{a_n}是以首项、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）且将点（a_n，b_n）代入y=nx可知b_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=1-a_n（n∈N⁺），
∴S_n+1=1-a_n+1，
两式相减得：a_n+1=a_n-a_n+1，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n，
又∵a₁=1-a₁，即a₁=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}是以首项、公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（2）∵点（a_n，b_n）在直线y=nx上，
∴b_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2[$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$]
=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．