Question

已知在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是D₁D、BD的中点,G在棱CD上,且CG=CD.

(1)求证:EF⊥B₁C;

(2)求EF与C₁G所成角的余弦值;

(3)求二面角F—EG—C₁的大小(用反三角函数表示).

Answer 1

解法一：(1)连结D₁B、BC₁,

∵E、F是D₁D、BD的中点,

∴EF∥D₁B,且EF=D₁B.

    又∵D₁C₁⊥平面BC₁,∴D₁B在平面BC₁上的射影为BC₁.

∵BC₁⊥B₁C,由三垂线定理知B₁C⊥D₁B.

∴EF⊥B₁C.

(2)延长CD至点P,使DP=CG,连结D₁P、PB,

∴D₁C₁PG.

∴四边形D₁C₁GP为平行四边形.

∴D₁PC₁G.

    又由(1)知,EF∥D₁B,

∴∠PD₁B为异面直线EF与C₁G所成的角.

    设正方体的棱长为4,则D₁P²=4²+1²=17,D₁B²=4²+4²+4²=48,PB²=4²+5²=41.

∴cos∠PD₁B=.

(3)取DC的中点M,连结FM,则FM⊥DC,

    过M作MN⊥EG于N点,连结FN.

    由三垂线定理可证FN⊥EG.∴∠MNF的邻补角为二面角F—EG—C₁的平面角.

    设正方体的棱长为4,则FM=2,

    在Rt△EDG中,△EDG∽△MNG,∴MN=.

    在Rt△FMN中,∠FMN=90°,∴tan∠MNF=.

∴∠MNF=arctan.

∴二面角F—EG—C₁的大小为π-arctan.

解法二:建立下图所示空间直角坐标系O—xyz,设正方体的棱长为4,则E(0,0,2),F(2,2,0),C(0,4,0),B(4,4,0),C₁(0,4,4),B₁(4,4,4),G(0,3,0).

(1) =(2,2-2),=(-4,0,-4),

∴·=2×(-4)+2×0+(-2)×(-4)=0.

∴⊥.∴EF⊥B₁C.

(2) =(0,-1,-4),

∴·=2×0+2×(-1)+(-2)×(-4)=6.

    又∵||=,||=2,

∴cos〈,〉==.

(3)(*有个别学生按超出课本要求的方法求解,按此标准给分)

    平面D₁DCC₁的法向量为=(-4,0,0),设平面EFG的法向量为n=(x,y,z),

∴即

    令x=1,则y=2,z=3.∴n=(1,2,3).

∴cos〈n,〉==.

∴二面角F—EG—C₁的大小为π-arccos.