Question

设函数
（Ⅰ）求函数的定义域，并求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在正实数a，b（a＜b），使函数f（x）的定义域为[a，b]时值域为，若存在，求a，b 的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）的解析式求函数的定义域，根据定义域化简函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，由此得到f（x）的递增区间．
（Ⅱ）假设存在符合题设的正实数a，b，分三种情况0＜a＜b≤1、0＜a＜1＜b、1＜a＜b，分别求出a，b的值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），（1分）
∵，（3分）
∴x∈（0，1]时，，（5分）
x∈（1，+∞）∪（-∞，0）时，，
f（x）的递减区间为（0，1]，为（1，+∞）和（-∞，0），（7分）
（Ⅱ）假设存在符合题设的正实数a，b，那么有如下三种情况：
若0＜a＜b≤1时有，即，解得a=b，与a＜b矛盾．     （9分）
若0＜a＜1＜b时有 ，那么a≤0＜b，这与a＞0矛盾．   （11分）
若1＜a＜b时有 ，即a，b是方程x²-8x+8=0的两个根，
解得 ，（13分）
综上，存在满足题意．（14分）
点评：本题主要考查求函数的定义域，利用导数判断函数的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．