题目内容
设函数
（1）求函数y=T（sin（
x））和y=sin（
T（x））的解析式；（2）是否存在非负实数a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）定义Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①当x∈[0，
]时，求y=Tn（x）的解析式；已知下面正确的命题：当x∈[
，
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
-x）恒成立．②对于给定的正整数m，若方程Tm（x）=kx恰有2m个不同的实数根，确定k的取值范围；若将这些根从小到大排列组成数列{xn}（1≤n≤2m），求数列{xn}所有2m项的和．
【答案】分析：（1）由
和
，解出x的范围，然后直接把
代入分段函数解析式即可，
求y=sin（
T（x））的解析式可把T（x）直接代入．
（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0，
]时，x∈[0，
），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=Tn（x）的解析式；
②根据题目给出的条件：当x∈[
，
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
-x）恒成立，
求出当
（i∈N，0≤i≤2n-1）时的Tn（x）的解析式，再由方程Tm（x）=kx求得当
时，
，那么，数列{xn}所有2m项的和可利用分组进行求和．
解答：解：（1）由
，得：
或
（k∈Z），
由
，得：
（k∈Z）．
所以，函数
=
，
函数
=
，
所以，
．
（2）
，
．
当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当
时，对于任意的正整数i∈N*，1≤i≤n-1，
都有
，
故有
=
=2nx．
②由①可知当
时，有
，根据命题的结论可得，
当
时，有
，
故有
=-2nx+2．
因此同理归纳得到，当
（i∈N，0≤i≤2n-1）时，
=
．
对于给定的正整数m，当
时，
解方程Tm（x）=kx得，
，
要使方程Tm（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2m-1，必须
恒成立，
解得
，若将这些根从小到大排列组成数列{xn}，
由此可得
（n∈N*，1≤i≤2m）．
故数列{xn}所有2m项的和为：
=
=
．
点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．
和，解出x的范围，然后直接把代入分段函数解析式即可，求y=sin（
T（x））的解析式可把T（x）直接代入．（2）分别写出函数y=aT（x）和y=T（ax）的解析式，由解析式看出当a=0时aT（x）=T（ax）恒成立，
而a＞0时，直接由aT（x）=T（ax）看出a取1时此等式成立；
（3）①当x∈[0，
]时，x∈[0，），则在函数T（x）=2x的解析式中，依次取x=2x可求y=Tn（x）的解析式；②根据题目给出的条件：当x∈[
，]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（-x）恒成立，求出当
（i∈N，0≤i≤2n-1）时的Tn（x）的解析式，再由方程Tm（x）=kx求得当时，，那么，数列{xn}所有2m项的和可利用分组进行求和．解答：解：（1）由
，得：或（k∈Z），由
，得：（k∈Z）．所以，函数
=，函数
=，所以，
．（2）
，．当a=0时，则有a（T（x））=T（ax）=0恒成立．
当a＞0时，当且仅当a=1时有a（T（x））=T（ax）=T（x）恒成立．
综上可知当a=0或a=1时，a（T（x））=T（ax）恒成立；
（3）①当
时，对于任意的正整数i∈N*，1≤i≤n-1，都有
，故有
==2nx．②由①可知当
时，有，根据命题的结论可得，当
时，有，故有
=-2nx+2．因此同理归纳得到，当
（i∈N，0≤i≤2n-1）时，=．对于给定的正整数m，当
时，解方程Tm（x）=kx得，
，要使方程Tm（x）=kx在x∈[0，1]上恰有2m个不同的实数根，
对于任意i∈N，0≤i≤2m-1，必须
恒成立，解得
，若将这些根从小到大排列组成数列{xn}，由此可得
（n∈N*，1≤i≤2m）．故数列{xn}所有2m项的和为：
=
=
．点评：本题考查了函数解析式的求解及常用方法，考查了函数恒成立问题，考查了数列的函数特性及数列的分组求和，特别是（3）中的②涉及到复杂条件下的函数解析式的求解及方程根的问题，需要学生有清晰的头脑，考查了学生进行复杂运算的能力，此题是难度较大的题目．
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x））和y=sin（
]时，求y=Tn（x）的解析式；
，
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）时，都有Tn（x）=Tn（
-x）恒成立．
时，求y=T4（x）的解析式；
时（i∈N*，1≤i≤15），都有
恒成立．