Question

 (1)在等差数列{a_n}中，已知a₁＝20，前n项和为S_n，且S₁₀＝S₁₅，求当n取何值时，S_n有最大值，并求出它的最大值．

(2)已知数列{a_n}的通项公式是a_n＝4n－25，求数列{|a_n|}的前n项和．

Answer 1

解：(1)由a₁＝20，S₁₀＝S₁₅，解得公差d＝－.

∵S₁₀＝S₁₅，∴S₁₅－S₁₀＝a₁₁＋a₁₂＋a₁₃＋a₁₄＋a₁₅＝0.

∵a₁₁＋a₁₅＝a₁₂＋a₁₄＝2a₁₃，∴a₁₃＝0，

又∵a₁>0，

∴a₁、a₂、…、a₁₁、a₁₂均为正数，而a₁₄及以后各项均为负数．

∴当n＝12或13时，S_n有最大值，为S₁₂＝S₁₃＝130.

(2)∵a_n＝4n－25，a_n＋1＝4(n＋1)－25，

∴a_n＋1－a_n＝4＝d，又a₁＝4×1－25＝－21.

所以数列{a_n}是以－21为首项，以4为公差的递增的等差数列，

令

由①得n<6；由②得n≥5，所以n＝6.

即数列{|a_n|}的前6项是以21为首项，公差为－4的等差数列，从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列，

而|a₇|＝a₇＝4×7－24＝3.

设{|a_n|}的前n项和为T_n，则