Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x= 处取得最大值．
（1）当 时，求函数f（x）的值域；
（2）若a=7且sinB+sinC= ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA

=2cosxsinxcosA﹣2cosxcosxsinA+sinA

=sin2xcosA﹣cos2xsinA+sinA=sin（2x﹣A）+sinA

又∵函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在 处取得最大值．

∴ ，其中k∈z，

即 ，其中k∈z，

∵A∈（0，π），∴A=

∵ ，∴2x﹣A

∴ ，即函数f（x）的值域为：

（2）解：由正弦定理得到 ，则sinB+sinC= sinA，

即 ，∴b+c=13

由余弦定理得到a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA

即49=169﹣3bc，∴bc=40

故△ABC的面积为：S= ．

【解析】（1）利用两角差的余弦公式和二倍角的正余弦公式，进行化简可得到f（x）=sin（2x﹣A）+sinA，由于f（x）在 x = 处取得最大值,即为A = ，再根据正弦函数的图象和性质可得出f（x）的值域，（2）根据正弦定理进行边角互化，可得出b+c=13，再根据余弦定理可得bc=40，根据面积公式即可得出结果.
【考点精析】认真审题，首先需要了解两角和与差的正弦公式(两角和与差的正弦公式：)，还要掌握正弦定理的定义(正弦定理:)的相关知识才是答题的关键．