Question

16．设数列{a_n}的前n项和为${S_n}={n^2}$，数列{b_n}为等比数列，且${a_1}=2{b_1}，{\;}^{\;}{b_1}{b_2}=\frac{1}{8}$．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，能求出a_n=2n-1，从而${b}_{1}=\frac{1}{2}$，${b}_{2}=\frac{1}{4}$，由此能求出${b}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）由${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为${S_n}={n^2}$，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，
当n=1时，a₁=S₁=1，
综上a_n=2n-1，
∵数列{b_n}为等比数列，且${a_1}=2{b_1}，{\;}^{\;}{b_1}{b_2}=\frac{1}{8}$，
∴${b}_{1}=\frac{1}{2}$，${b}_{2}=\frac{1}{4}$，∴q=$\frac{1}{2}$，
∴${b}_{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$．
（2）${c_n}=\frac{a_n}{b_n}$=$\frac{2n-1}{\frac{1}{{2}^{n}}}$=（2n-1）•2ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1×2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1×2²+3×2³+…+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，
两式相减得：
-T_n=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=2+$\frac{8（1-{2}^{n-2}）}{1-2}$-（2n-1）×2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．