Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面积ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面积ABCD，PA＝.

(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求二面角A－BE－P的大小.

Answer 1

解    解法一(Ⅰ)如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，ΔBCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.

又BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，BE⊥平面PAB，PB平面PAB，所以PB⊥BE.

又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.

在RtΔPAB中，tan∠PBA＝，∠PBA＝60°.

故二面角A－BE－P的大小是60°.

解法二    如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0)，B(1,0,0)，C()，D()，P()，E().

(Ⅰ)因为，平面PAB的一个法向量是＝(0,1,0)，所以和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面BEF，所以平面PBE⊥平面PAB.

 

(Ⅱ)易知=(1,0,-), ,

设=(x₁,y₁,z₁)是平面PBE的一个法向量，则由得

所以y₁=0,x_­1=z₁.故可取=(,0,1).

而平面ABE的一个法向量是=(0,0,1).

于是，cos＜,＞＝.

故二面角A-BE-P的大小是.