Question

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上的点，且成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据，可得P为MN的中点，利用，可得，从而可得点N的轨迹C的方程；
（2）先根据抛物线的定义可知，利用成等差数列，可得x₁+x₃=2x₂，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标．
解答：解：（1）设N（x，y），则由得P为MN的中点，
所以…（1分）
又，∴
∵，…（3分）
∴y²=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P（x，y）到F的距离等于其到准线的距离，即…（6分）
故，
又成等差数列
∴x₁+x₃=2x₂…（7分）
∵直线AD的斜率…（9分）
∴AD的中垂线方程为…（10分）
又AD的中点在直线上，代入上式，得…（11分）
故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）
点评：本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．