Question

（2004•河西区一模）设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且

MN

=2

MP

，

PM

⊥

PF

．
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上的点，且|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据

MN

=2

MP

，可得P为MN的中点，利用

PM

⊥

PF

，可得

PM

•

PF

=0，从而可得点N的轨迹C的方程；
（2）先根据抛物线的定义可知|

AF

|=x1+

p

2

，|

BF

|=x2+

p

2

，|

DF

|=x3+

p

2

，利用|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列，可得x₁+x₃=2x₂，确定AD的中垂线方程，利用AD的中点在直线上，即可求得点B的坐标．

解答：解：（1）设N（x，y），则由

MN

=2

MP

得P为MN的中点，
所以M(-x，0)，P(0，

y

2

)…（1分）
又

PM

⊥

PF

，∴

PM

•

PF

=0
∵

PM

=(-x，-

y

2

)，

PF

=(1，-

y

2

)，…（3分）
∴y²=4x（x≠0）…（5分）
（2）由（1）知F（1，0）为曲线C的焦点，由抛物线定义知抛物线上任一点P₀（x₀，y₀）到F的距离等于其到准线的距离，即|P0F|=x0+

p

2

…（6分）
故|

AF

|=x1+

p

2

，|

BF

|=x2+

p

2

，|

DF

|=x3+

p

2

，
又|

AF

|，|

BF

|，|

DF

|成等差数列
∴x₁+x₃=2x₂…（7分）
∵直线AD的斜率KAD=

y3-y1

x3-x1

=

y3-y1

y 2 3 4 - y 2 1 4

=

4

y1+y3

…（9分）
∴AD的中垂线方程为y=-

y1+y3

4

(x-3)…（10分）
又AD的中点(

x1+x3

2

，

y1+y3

2

)在直线上，代入上式，得

x1+x3

2

=1⇒x2=1…（11分）
故所求点B的坐标为（1，±2）…（12分）

点评：本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，考查数列知识，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．