Question

设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2，=0；
（1）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是曲线C上除去原点外的不同三点，且，，成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出N的坐标，确定，的坐标，利用=0，可得点N的轨迹C的方程；
（2）先确定线段AD的垂直平分线的斜率、AD的斜率，可得方程，利用点B在抛物线上，即可求得点B的坐标．
解答：解：（1）设N（x，y），由=2，得点P为线段MN的中点，∴P（0，），M（-x，0），
∴=（-x，-），=（1，-）．
由=-x+=0，得y²=4x．
即点N的轨迹方程为y²=4x．
（2）由抛物线的定义，知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，|DF|=x₃+1，
∵，，成等差数列，
∴2x₂+2=x₁+1+x₃+1，即x₂=．
∵线段AD的中点为（，），且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0），
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k=．
又k_AD=，∴•=-1，
即=-1．
∵x₁≠x₃，∴x₁+x₃=2，又x₂=，∴x₂=1．
∵点B在抛物线上，
∴B（1，2）或（1，-2）．
点评：本题考查轨迹方程，考查等差数列，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．