Question

求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx，x∈R的最值及取到最值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：令t=sinx+cosx∈[-

2

，

2

]，则函数即y=

1

2

（t+1）²-1，再利用二次函数的性质求得函数的最值和对应的x的值．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

，

2

]，
则有 t²=1+2sinxcosx，即有sinxcosx=

t2-1

2

，
故函数y=sinx+cosx+sinxcosx=t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²-1，
∴当t=-1即x=2kπ+π或2kπ+

3π

2

（k∈Z）时，函数取得最小值为-1，
当t=

2

，即x=2kπ+

π

4

（k∈Z）时，函数取得最大值为

2

+

1

2

．

点评：本题主要考查求三角函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．