题目内容

已知二项式(
x
+
a
x
)6展开式的常数项为
∫
π
6
0
5cos3tdt，则a=
±
1
3
±
1
3
．
分析：先计算定积分，再计算二项式(
x
+
a
x
)6展开式的常数项为
C
2
6
×a2，利用二项式(
x
+
a
x
)6展开式的常数项为
∫
π
6
0
5cos3tdt，建立方程，即可求得结论．
解答：解：
∫
π
6
0
5cos3tdt=
5
3
sin3t
|
π
6
0
=
5
3

二项式(
x
+
a
x
)6展开式的通项为Tr+1
=C
r
6
(
x
)6-r×(
a
x
)r=
C
r
6
×ar×x3-
3r
2

令3-
3r
2
=0，则r=2，∴二项式(
x
+
a
x
)6展开式的常数项为
C
2
6
×a2
∵二项式(
x
+
a
x
)6展开式的常数项为
∫
π
6
0
5cos3tdt，
∴
C
2
6
×a2=
5
3

∴a=±
1
3

故答案为：±
1
3
点评：本题考查定积分的计算，考查二项展开式的通项，考查学生的计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知a=
2
π
∫
1
-1
1-x2
dx，则二项式(x+
a
x
)6的展开式中常数项为
15
15
．
（2013•龙泉驿区模拟）已知a＞0，二项式(x-
ax
)8展开式中常数项为1120，则此展开式中各项系数的和等于
1
1
．
已知m是二项式(
x
+
a
x
)7（a为常数）展开式中有理项的个数，则(
1
x
-2)m展开式的中间项为（　　）
已知二项式(x2-
ax
)5的展开式中含x项的系数与复数z=-6+8i的模相等，则a=
-1
-1
．

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