Question

【题目】已知椭圆的离心率为，直线经过椭圆的左焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与轴交于点，、是椭圆上的两个动点，且它们在轴的两侧，的平分线在轴上，|，则直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点.

【解析】

（1）求出后可得椭圆的标准方程.

（2）设的方程为，，，的平分线在轴上等价于，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简可得，从而得到所求的定点.

（1）在直线方程中令，则，

故，又，故，所以，所以椭圆标准方程为：.

（2）因为、在在轴的两侧，故的斜率必存在，

设的方程为，，，

因为在轴上且在直线，故.

因为的平分线在轴上，所以，而，

代入整理得到：.

由可得，

所以，

所以，化简得到，

所以对任意的，总有，故直线过定点.