Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右准线l₂与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
（Ⅰ）求证：PF⊥l；
（Ⅱ）若|PF|=

2

，且双曲线的离心率e=

3

，求该双曲线的方程；
（Ⅲ）若过点A（2，1）的直线与（Ⅱ）中的双曲线交于两点P₁，P₂，求线段P₁P₂的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线方程求出双曲线的右准线方程和一条渐近线方程，联立求出P点的坐标，求出PF所在直线的斜率，由斜率制剂等于-1证明PF⊥l；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的证明可知，|PF|为F（c，0）到l：bx-ay=0距离，由点到直线的距离公式列一个关于a，b，c的关系式，再由离心率得一关系式，结合a²+b²=c²求解a，b的值，则双曲线的方程可求；
（Ⅲ）分斜率存在和不存在得到过点A的直线方程，斜率存在时把直线方程和双曲线方程联立，利用根与系数关系得到M点的参数方程，消参后即可得到答案，然后验证斜率不存在时的情况．

解答：（Ⅰ）证明：右准线为x=

a2

c

，由对称性，不妨设渐近线l为y=

b

a

x，则P(

a2

c

，

ab

c

)．
又F（c，0），∴kPF=

ab c -0

a2 c -c

=-

a

b

．
又∵kl=

b

a

，∴kPF•kl=-

a

b

•

b

a

=-1，∴PF⊥l；
（Ⅱ）解：∵|PF|为F（c，0）到l：bx-ay=0距离，∴

|bc|

a2+b2

=

2

，即b=

2

．
又e=

c

a

=

3

，∴

a2+b2

a2

=3，解得a²=1．
故双曲线方程为x2-

y2

2

=1；
（Ⅲ）解：设M（x，y），
当过点A的直线斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），
由

y-1=k(x-2) x2- y2 2 =1

，
可得（2-k²）x²-2k（1-2k）x-（1-2k）²-2=0．
当（2-k²）≠0，△=（1-2k）²4k²+4（2-k²）[（1-2k）²+2]＞0时，
设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），∴x=

x1+x2

2

=

k(1-2k)

2-k2

（1）y=

y1+y2

2

=

k(x1+x2)-4k+2

2

=

2(1-2k)

2-k2

（2）
当k=

1

2

时，此时M（0，0）．
当k≠

1

2

时，显然y≠0．此时（1）÷（2）得k=

2x

y

，将其代入（2），
得

y

2

=

y(y-4x)

2y2-4x2

．∵y≠0，∴有2x²-y²-4x+y=0．显然（0，0）也满足此方程．
当直线的斜率不存在时，此时直线方程为x=2，则P₁P₂中点为（2，0）符合上式．
综上可知，M点的轨迹方程为2x²-y²-4x+y=0．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了双曲线的性质，直线与曲线联立，根据方程的根与系数的关系解题是处理这类问题的最为常用的方法，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理，是难题．