题目内容
【题目】如图在四棱锥
中，侧棱
平面
，底面是直角梯形，
，
，
，
，
为侧棱
中点.
（1）设
为棱
上的动点，试确定点的位置，使得平面
平面
，并写出证明过程；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）当
为
中点时，满足平面
平面
；证明见解析（2）
【解析】
（1）当为中点时，满足平面
平面，在梯形
中，可得
，
，即四边形
为平行四边形，得到
，在
中，根据
、为中点，得到
，再利用面面平行的判定定理得证.
（2）根据
、
、
两两垂直，分别以、、为
、
、
轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面
的一个法向量，利用二面角的向量公式求解.
（1）当为中点时，满足平面平面，
证明如下：
在梯形中，因为
，
，
，
所以，，
即四边形为平行四边形，所以，即
平面
，
在中，因为、分别为
、中点，所以，即
平面.
又因为
，
平面
，
平面，
所以平面
平面.
（2）由题知、、两两垂直，如图，
分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系.
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面的一个法向量为
，
则
，所以
，所以
又知
平面，所以平面的一个法向量为
，
所以
，
由图可知二面角
是钝角
所以二面角的余弦值为.
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