Question

设x＞-1，函数y=

(x+5)(x+2)

x+1

的最小值是

9

．

Answer 1

分析：根据函数的形式，换元：设t=x+1（t＞0），将原函数变为f(t)=(t+

5

t

) +5，再根据t为正数，可以用基本不等式求出f（t）的最小值，最后用等号成立的条件得出相应的x的值，从而得出原函数的最小值2

5

+5是正确的．

解答：解：设t=x+1（t＞0），则
y=f(t)=

(x+5)(x+2)

x+1

=

(t+4)(t+1)

t

整理得：f(t)=(t+

4

t

) +5
∵t＞0
∴t+

4

t

≥ 2

t• 4 t

所以f(t)=(t+

4

t

) +5≥2

4

+5=9
当且仅当t=

4

t

=2时，函数有最小值
此时x=1
因此函数y=

(x+5)(x+2)

x+1

当x=1时有最小值为9
故答案为：9

点评：本题以分式函数为载体，考查了函数的最值及其应用，属于中档题．采用换元法、利用基本不等式来求解是解决本题的关键，用这个方法时同学们应该注意等号成立的条件，以免出错．