Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*），则a_n=$\frac{2}{n}$．

Answer 1

分析 由已知求出倒数关系式，从而得到新数列是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，由此能求出a₄．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是首项为$\frac{1}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n，
∴a_n=$\frac{2}{n}$，
故答案为：$\frac{2}{n}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．