Question

【题目】已知函数

（1）若不等式对任意的恒成立,求的取值范围；

（2）当时,记的最小值为,正实数,,满足,证明：.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析

【解析】

(1)根据化简可得在时恒成立.再求解绝对值不等式,利用恒成立的方法求解即可.

(2)代入,将写出分段函数分析得出最小值,再利用三元的平方和公式以及基本不等式证明,再同理证明即可.

(1)因为,故即,化简可得在时恒成立.即或恒成立.

故或恒成立.

解得或.又,故.

综上,

(2)由题, .

故当时, ；当时, ；当时, .

故的最小值为.即,要证明

可先证明：

因为

,即,

故,故.当且仅当时取等号.

设,则已知,要证.

同理

,即,

故,即,当且仅当时取等号.

综上有当时,成立. 当且仅当时取等号.