Question

【题目】已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，分别为椭圆的左、右顶点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过左顶点的直线与椭圆另交于点，与轴交于点，在平面内是否存在一定点，使得恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求面积的最大值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】

（1）根据题意，由双曲线的标准方程，求出和，利用，求得，根据离心率，即可求出双曲线的离心率，结合题意，得出椭圆的离心率，根据椭圆中，得出，进而求出，最后利用，求出，即可得出椭圆的标准方程；

（2）设直线的方程为：，，可求出与轴交于点，联立方程组，写出韦达定理，进而可求出，设点，求出和，通过，化简后通过直线过定点得出，由弦长公式求出，以及利用点到直线的距离公式求出点到直线：的距离，最后利用，化简后可得出面积的最大值.

解：（1）由题可知，双曲线，

则，，，

所以，

所以双曲线的离心率：，

由于椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，

则椭圆的离心率为，

而分别为椭圆的左、右顶点，且，

则，得，所以，，

所以椭圆的标准方程为：.

（2）由（1）可知，，，

直线过点，与椭圆另交于点，与轴交于点，

则设直线的方程为：，，

令，得，则，

将代入得：，

则，而，则，

由于，

得，

设点，则，，

要使得，

则

即

即，则，

即，则过定点，

即在平面内存在一定点，使得恒成立，

由于，

设点到直线：的距离为，

则，

所以的面积为：

，

因为，当且仅当时，即时，取等号，

则，

所以的最大值为，即面积的最大值为.