Question

如图，三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁＝A₁C＝AC＝2，AB＝BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

(Ⅰ)证明：A₁O⊥平面ABC；

(Ⅱ)求直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值；

(Ⅲ)在BC₁上是否存在一点E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)证明：因为，且O为AC的中点， 　　所以　　1分 　　又由题意可知，平面平面，交线为，且平面， 　　所以平面　　4分 　　(Ⅱ)如图，以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 　　由题意可知，又； 　　． 　　所以得： 　　则有： 　　设平面的一个法向量为，则有 　　，令，得 　　所以　　6分 　　． 　　因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以　　8分 　　(Ⅲ)设 　　即，得 　　所以得　　10分 　　令平面，得， 　　即得 　　即存在这样的点E，E为的中点　　12分