Question

（本小题满分12分）设函数 
(1)当时，求函数的最大值；
(2)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

（1）的极大值为，此即为最大值 ；
(2）≥；(3) 。

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
判定单调性得到极值。
（2）转化为，，则有≤，在上恒成立，所以≥，解决。
（3）因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，设，分析图像与x轴的交点问题。
解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
……………2分
令=0，解得．（∵）
因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分
(2），，则有≤，在上恒成立，所以≥，             
当时，取得最大值，所以≥………8分
(3)因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，设，
则．令，．  
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值． 则既……………10分所以，因为，所以（*）设函数，因为当时，是增函数，所以至多有一解．因为，所以方程（*）的解为，即，解得……………12分