Question

设函数为自然对数的底数).

 (1) 若时, 恒成立, 求的取值范围;

 (2)求证:对于大于的正整数, 恒有成立.

Answer 1

(1) 解: , ∵, ∴,.

   ① 若,则当时,,为减函数,而,

     从而当时,,不合题意,应舍去.

   ② 若,则当时, ,为减函数,而,

     从而当时,,不合题意,应舍去.

   ③ 若,则当时, ,为增函数,而,

     从而当时,,所以当时, 恒成立.

 综上, 的取值范围为.

(2)证明: 由(1)知, 对于, 当时, ,所以,

而当时, ,所以,

从而时, .

取,则.