Question

（本小题满分14分）对于函数和，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线. 已知函数为自然对数的底，为常数）.

(Ⅰ)讨论函数的单调性；

(Ⅱ)设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由.

Answer 1

（本小题满分14分）

解：（1），                                 …………2分

当时，，即，

函数在区间上是增函数，

在区间上是减函数；………3分

当时，，函数是区间上的增函数；      …………5分

当时，即，

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数.…7分

（2）若存在，则恒成立，

令，则，所以，                                 …………9分

因此：恒成立，即恒成立，

由得到：，

现在只要判断是否恒成立，                        ………… 11分

设，因为：，

当时，，，

当时，，，

所以，即恒成立，

所以函数与函数存在“分界线”.            ………… 14分