Question

4．设sinx+siny=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则cosx+cosy的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{\sqrt{14}}{2}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，0]
• C． [-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{2}$]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$]

Answer 1

分析 设cosx+cosy=t，结合已知等式，平方和后利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的余弦函数公式化简，利用余弦函数的值域确定出t的范围即可．

解答 解：设cosx+cosy=t①，sinx+siny=$\frac{\sqrt{2}}{2}$②，
①²+②²得：2+2sinxsiny+2cosxcosy=t²+$\frac{1}{2}$，即cos（x-y）=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{4}$，
∵-1≤cos（x-y）≤1，
∴-1≤$\frac{1}{2}$t²-$\frac{3}{4}$≤1，
解得：-$\frac{\sqrt{14}}{2}$≤t≤$\frac{\sqrt{14}}{2}$，
则cosx+cosy的取值范围是：[-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{2}$]，
故选：C．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．