Question

已知函数。

（I）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）在（I）的条件下，且，，，求的极小值；

(Ⅲ) 设，若函数存在两个零点，且满足，问：函数在处的切线能否平行于轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）

由题意，知恒成立，即.

又，当且仅当时等号成立.

故，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，则，则

 

由，得或（舍去），，

①若，则单调递减；在也单调递减；

②若，则单调递增. 在也单调递增；

故的极小值为

（Ⅲ）设在的切线平行于轴，其中结合题意，

,相减得

,又,

所以 设，

设，

所以函数在上单调递增，

因此，，即

也就是，，所以无解。

所以在处的切线不能平行于轴。