Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若，求零点的个数；

（3）若为整数，且当时， 恒成立，求的最大值.

（参考数据， ， ）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时，由，且，即可求解再点处的切线方程；

（2）当时， ，求得，从而得到在， 单调递减，当时， 单调递增，确定函数的极值，再根据零点的存在定理，即可得到函数有两个不同的零点.

（3）由题意知， 对恒成立，即对恒成立，令，得，从而判定出函数的单调性，进而得到存在， ，即，得到函数的最小值，再由

，所以的取值范围，得出结论.

试题解析：

（1）当时， .因为，从而.

又，所以曲线在点处的切线方程，

即.

（2）当时， .因为，从而，

当， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.

所以当时， 有极小值.

因， ，所以在之间有一个零点.

因为，所以在之间有一个零点.

从而有两个不同的零点.

（3）由题意知， 对恒成立，

即对恒成立.

令，则.

设，则.

当时， ，所以在为增函数.

因为， ，

所以存在， ，即.

当时， ， 单调递减，当时， ， 单调递增.

所以当时， 的最小值.

因为，所以.

故所求的整数的最大值为.