Question

【题目】已知为抛物线上的两个动点，点在第一象限，点在第四象限，分别过点且与抛物线相切，为的交点．

（Ⅰ）若直线过抛物线的焦点，求证动点在一条定直线上，并求此直线方程；

（Ⅱ）设为直线与直线的交点，求面积的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析，；（Ⅱ）.

【解析】

试题（I）利用直线与抛物线相切，求出方程，可得点坐标，再求出直线的方程，即要得结论；（II）求出的坐标，可得，表示面积，利用导数法可求最小值.

试题解析：（Ⅰ）设．

易知斜率存在，设为，则方程为

由，得……①

由直线与抛物线相切，知．

于是，方程为．

同理，方程为．

联立、方程可得点坐标为，

∵，方程为，过抛物线的焦点，

∴，．

∴，点在一条定直线上．

或解：设，则方程为，方程为．

点坐标满足方程，

∴直线方程为，由直线过点，知，

∴，点在定直线上

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的坐标分别为，

．

设．

由知，

当且仅当时等号成立．

∴．

设，则．

∴时，；时，．

在区间上为减函数，在区间上为增函数．

∴时，取最小值．

∴当，即时，

面积取最小值