Question

【题目】已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为.

（1）若过点的坐标为，求切线方程；

（2）求四边形面积的最小值；

（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）切线方程，（2）（3）证明见解析；定点坐标为或

【解析】

（1）当切线斜率不存在时，切线方程为，当切线斜率存在时，设直线方程为，由直线和圆相切，求出，由此能求出切线，方程．

（2），当最小时，四边形面积最小．由此能求出四边形面积的最小值．

（3）设点，，过，，三点的圆即以为直径的圆，由此能求出定点坐标．

解：（1）当切线斜率不存在时，切线方程为，符合题意.

当切线斜率存在时，设直线方程为，

因为直线和圆相切，所以，解得，

此时直线方程为，即，

所以切线方程，.

（2）

故当最小时，四边形面积最小.而

所以四边形面积的最小值.

证明：（3）设点，，

过三点的圆即以为直径的圆

即，

所以，

从而，

解得定点坐标为或.