Question

【题目】已知椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）当实数变化时，求的最大值；

（3）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）有最大值；（3）面积的最大值为.

【解析】试题分析：⑴由椭圆的离心率是，短轴的一个端点到右焦点的距离为，列出方程组，求出及，由此能求出椭圆的方程；

⑵联立直线方程和椭圆方程消去，求出的横坐标，代入直线方程求出对应的纵坐标，代入两点间的距离，求出，

⑶求出点到直线的距离，从而求得的面积的表达式，运用不等式计算求得结果

解析：（1）由题意得，得，从而，

所以椭圆的方程为；

（2）设，联立消去，整理得，

由题意知，

所以， ，

所以，

所以当且仅当时， 有最大值；

（3）点到直线的距离为，从而的面积为

，

（当且仅当，即时，等号成立．）

所以面积的最大值为．