Question

已知函数y=f（x）在R上是偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂时，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，给出如下命题：
①函数y=f（x）在[-9，6]上为增函数     
②直线x=-6是y=f（x）图象的一条对称轴
③f（3）=0
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为

②③④

．

Answer 1

分析：①根据偶函数f（x）在[0，3]上为增函数，则f（x）在[-3，0]上是减函数，知①不正确；
②将f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数，再由f（x）是偶函数可得，x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③令x=-3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根据函数为偶函数，得到f（3）=0；
④根据f（3）=0，周期为6，得到f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，有四个零点．

解答：解：①因为当x₁，x₂∈[0，3]，x₁≠x₂时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0 成立，故f（x）在[0，3]上为增函数，
又f（x）为偶函数，故在[-3，0]上为减函数，故①错误；
②令x=-3，由f（x+6）=f（x）+f（3），得f（3）=f（-3）+f（3），
∵y=f （x）在R上是偶函数，∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数．
由于f（x）为偶函数，y轴是对称轴，
故直线x=-6也是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②正确．
③令x=-3，则由f（x+6）=f（x）+f（3），函数y=f （x）在R上是偶函数，
得f（3）=f（-3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故③正确．
④函数f（x）周期为6，故f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0，
故y=f（x）在[-9，9]上有四个零点，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查了抽象函数的单调性，奇偶性，周期性，综合性比较强，需熟练灵活掌握，属于基础题．