Question

在△ABC三角形ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

m

=(cosB，cosC)，

n

=(2a+c，b) 且

m

⊥

n

（Ⅰ）求角B的大小及y=sin²A+sin²C的取值范围；
（Ⅱ）若b=

13

，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由两向量垂直时数量积为0，根据两向量的坐标列出关系式，然后利用余弦定理表示出cosB和cosC，代入表示出的关系式中化简，得到a²+c²-b²=-ac，代入表示出的cosB中，求出cosB的值，把y=sin²A+sin²C的两项利用二倍角的余弦函数公式化简，然后根据三角形的内角和定理及B的度数，用A表示出C，由A的范围，求出这个角的范围根据正弦函数的定义域与值域得到y的范围；
（Ⅱ）利用余弦定理的得到b²=a²+c²-2accosB，根据完全平方公式化简后，将b，a+c及cosB的值代入，求出ac的值，再由sinB的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵已知

m

=(cosB，cosC)，

n

=(2a+c，b) 且

m

⊥

n

，
∴（2a+c）cosB+bcosC=0，
根据余弦定理得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
代入上式整理得：a²+c²-b²=-ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

-ac

2ac

=-

1

2

，
∵角B为三角形的内角，∴B=

2

3

π；
由题知，y=sin²A+sin²C=

1-cos2A

2

+

1-cos2c

2

=1-

1

2

（cos2A+cos2C）．
由A+C=π-B=

π

3

，得C=

π

3

-A，
∵cos2A+cos2C=cos2A+cos（

2π

3

-2A）=

1

2

cos2A+

3

2

sin2A=sin（2A+

π

6

），
由于0＜A＜

π

3

，得到

π

6

＜2A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（2A+

π

6

）≤1，即-

1

2

≤-

1

2

sin（2A+

π

6

）＜-

1

4

，
∴

1

2

≤1-

1

2

sin（2A+

π

6

）＜

3

4

，
则y的取值范围是[

1

2

，

3

4

]；
（2）∵b=

13

，a+c=4，B=

2

3

π，
∴由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴13=16-2ac（1-

1

2

），
∴ac=3，
则S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

3

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及到的知识有：平面向量的数量积运算法则，余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．