Question

已知a为常数，f（x）=lg(

a

1+x

-1)是奇函数．
（1）求a的值，并求出f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞-1．

Answer 1

分析：（1）根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，故f0）=0，故lg（a-1）=0，解得a的值．
（2）f（x）=lg

1-x

1+x

，不等式f（x）＞-1即 lg

1-x

1+x

≥lg

1

10

，即

1-x

1+x

≥

1

10

，移项后，用穿根法求得解集，最后得函数的定义域求出交集即可．

解答：解：（1）根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，
∴故f0）=0，故lg（a-1）=0，a-1=1，故a=2．
（2）由以上可得 f（x）=lg

1-x

1+x

，
由

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）．
不等式f（x）＞-1即  lg

1-x

1+x

＞lg

1

10

，
即

1-x

1+x

＞

1

10

，
移项后，得：

x- 9 11

1+x

＜0，
用穿根法求得-1＜x＜

9

11

．
综上，不等式的解集为（-1，

9

11

）．

点评：本题考查对数函数的定义域，奇函数的定义，对数函数的单调性和特殊点，体现了转化的数学思想，解不等式lg

1+x

1-x

≥-1，是解题的难点．