题目内容
已知a为常数，求函数f（x）=x3-3ax（0≤x≤1）的最小值．
分析：求函数f（x）=x3-3ax的导数，对方程f′（x）=3（x2-a）=0有无实根，和有根，根是否在区间[0，1]内进行讨论，求得函数的极值，再与f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最小值．
解答：解：f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
（1）若a≤0，则f′（x）=3（x2-a）≥0，此时函数f（x）单调递增，
故当x=0时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=0．（2分）
（2）若a＞0，令f′（x）=3（x2-a）=0，
解得x=±
．∵x∈[0，1]，则考虑x=
的情况，如表所示 （3分）
①若0＜
＜1即0＜a＜1时，则有
（5分）
当x=
时，f（x）有最小值f(x)min=f(
)=-2a
；（7分）
②若
≥1，即a≥1时，函数f（x）在[0，1]上是减函数，
∴当x=1时，f（x）有最小值f（x）min=f（1）=1-3a．（10分）
综上可知：当a≤0时，x=0，f（x）有最小值0
当0＜a＜1时，x=
，f(x)有最小值-2a
，
当a≥1时，x=1，f（x）有最小值1-3a．（12分）
（1）若a≤0，则f′（x）=3（x2-a）≥0，此时函数f（x）单调递增，
故当x=0时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=0．（2分）
（2）若a＞0，令f′（x）=3（x2-a）=0，
解得x=±
| a |
| a |
①若0＜
| a |
| x | 0 | (0，
|
|
(
|
1 | ||||||
| f′（x） | - | 0 | + | ||||||||
| f（x） | 0 | 单调递减 | -2a
|
单调递增 | 1-3a |
当x=
| a |
| a |
| a |
②若
| a |
∴当x=1时，f（x）有最小值f（x）min=f（1）=1-3a．（10分）
综上可知：当a≤0时，x=0，f（x）有最小值0
当0＜a＜1时，x=
| a |
| a |
当a≥1时，x=1，f（x）有最小值1-3a．（12分）
点评：考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，对方程f′（x）═0有无实根，和有根，根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度，属中档题．
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