题目内容

已知a为常数，f（x）=lg $数学公式$ 是奇函数．
（1）求a的值，并求出f（x）的定义域；
（2）解不等式f（x）＞-1．

解：（1）根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，
∴故f0）=0，故lg（a-1）=0，a-1=1，故a=2．
（2）由以上可得 f（x）=lg $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 可得-1＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，1）．
不等式f（x）＞-1即 lg $\text{[math]}$ ＞lg $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ，
移项后，得： $\text{[math]}$ ，
用穿根法求得-1＜x＜ $\text{[math]}$ ．
综上，不等式的解集为（-1， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据奇函数的定义可得 f（-x）+f（x）=0，故f0）=0，故lg（a-1）=0，解得a的值．
（2）f（x）=lg $\text{[math]}$ ，不等式f（x）＞-1即 lg $\text{[math]}$ ≥lg $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，移项后，用穿根法求得解集，最后得函数的定义域求出交集即可．
点评：本题考查对数函数的定义域，奇函数的定义，对数函数的单调性和特殊点，体现了转化的数学思想，解不等式lg $\text{[math]}$ ≥-1，是解题的难点．