Question

已知定义域为R的函数f（x）为奇函数，且满足f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1．（1）求f（x）在[-1，0）上的解析式；（2）求f（）．

Answer 1

解：（1）令x∈[-1，0），则-x∈（0，1]，∴f（-x）=2^-x-1．
又∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-f（x）=f（-x）=2^-x-1，
∴f（x）=-（^x+1．
（2）∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是以4为周期的周期函数，
∵=-log₂24∈（-5，-4），∴+4∈（-1，0），
∴f（）=f（+4）=-（+1=-24×+1=-．
分析：先设x∈[-1，0），根据奇函数的定义，得到在[-1，0）上的解析式，将利用f（x+2）=-f（x）转化到[0，1]中，利用f（x）=2^x-1，求出答案．
点评：本题考查了奇函数的应用，第一小题为求函数的解析式问题，第二小题为利用周期对函数求值问题．全面考查了函数的性质，属基础题．