Question

【题目】
（1）求对称轴是 轴，焦点在直线 上的抛物线的标准方程；
（2）过抛物线 焦点 的直线 它交于 两点，求弦 的中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：对称轴是 轴则顶点在焦点在 轴

所以 ，则 ， ，
.
（2）解：由题知抛物线焦点为 ，
当直线的斜率存在时，设为 ，则焦点弦方程为 ，
代入抛物线方程得所以 ，由题意知斜率不等于0，
方程是一个一元二次方程，由韦达定理：
所以中点坐标：
代入直线方程
中点纵坐标；
即中点为
消参数 ，得其方程为
当直线的斜率不存在时，直线的中点是 ，符合题意，
故答案为: .
【解析】(1)先求出抛物线的焦点坐标,再求抛物线的方程;
(2)设出过焦点的直线的方程代入到抛物线方程中,消去y得关于x的一元二次方程,结合 韦达定理,表示出弦中点的坐标,消去参数k得中点轨迹方程.