Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，点B是椭圆C的上顶点，点Q在椭圆C上（异于B点）．
（Ⅰ）若椭圆V过点（﹣ ， ），求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+b与椭圆C交于B、P两点，若以PQ为直径的圆过点B，证明：存在k∈R， = ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）椭圆的离心率e= = = ，则a2=2b2 ，
将点（﹣ ， ）代入椭圆方程 ，解得：a2=4，b2=2，
∴椭圆的标准方程为： ，
（Ⅱ）由题意的对称性可知：设存在存在k＞0，使得 = ，
由a2=2b2 ， 椭圆方程为： ，
将直线方程代入椭圆方程，整理得：（1+2k2）x2+4kbx=0，
解得：xP=﹣ ，则丨BP丨= × ，
由BP⊥BQ，则丨BQ丨= ×丨 丨= ，
由 = ．，则2 × = ，
整理得：2k3﹣2k2+4k﹣1=0，
设f（x）=2k3﹣2k2+4k﹣1，由f（ ）＜0，f（ ）＞0，
∴函数f（x）存在零点，
∴存在k∈R， =
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a和b的关系，将（﹣ ， ）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得P的横坐标，求得丨BP丨，利用直线垂直的斜率关系求得丨BQ丨，由 = ，根据函数零点的判断即可存在k∈R， = ．