Question

如图4，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）由平面，得到，再由四边形为正方形得到，从而证明平面，从而得到，再结合，即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明、、三条直线两两垂直，然后以点为坐标原点， 、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值.
试题解析：（1）平面，
，又，，
平面，
，又，
平面，即平面；
（2）设，则中，，又，
，，由（1）知，
，，
，又，
，，同理，
如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则，
，，，，

设是平面的法向量，则，又，
所以，令，得，，
由（1）知平面的一个法向量，
设二面角的平面角为，可知为锐角，
，即所求.
【考点定位】本题考查直线与平面垂直的判定以及利用空间向量法求二面角，属于中等题.