Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点.
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BD的距离.

Answer 1

（1）证明过程见解析；（2）；（3）

试题分析：（1）取中点，连结，取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出坐标，进而得出向量坐标，利用向量垂直时坐标关系可证明，，可得平面；（2）令平面的法向量为，则，可得一法向量，由（1）为平面的法向量,那么二面角的余弦值即为，；（3）可求，．为平面的法向量,所以C到平面A₁BD的距离.
解：（1）取中点，连结．为正三角形，,
在正三棱柱中，平面平面，
平面,

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
，,
平面．     4分
（2）设平面的法向量为,
，,
，，
令得为平面的一个法向量,
由（1）知平面， 为平面的法向量,
，,
二面角的余弦值为．                  9分
（3）由（2），为平面法向量，
,
点到平面的距离．    12分