Question

7．已知α，β，λ是一个三角形的三个内角，有下列式子：
①sin（α+β）-sinλ
②cos（α+β）+cosλ
③cos（α+β）-cosλ
④tan（α+β）-tanλ
⑤tan（α+β）+tanλ
⑥tan$\frac{α+β}{2}$tan$\frac{λ}{2}$．
其中，值为常数的式子的个数为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由α+β+λ=π，得 α+β=π-λ，由此利用三角函数加法定理得到：sin（α+β）-sinλ=0；cos（α+β）+cosλ=0；cos（α+β）-cosλ=-2cosλ；tan（α+β）-tanλ=-2tanλ；tan（α+β）+tanλ=0；tan$\frac{α+β}{2}$tan$\frac{λ}{2}$=1．

解答 解：α，β，λ是一个三角形的三个内角
∴α+β+λ=π，∴α+β=π-λ
在①中：sin（α+β）=sin（π-λ）=sinλ，∴sin（α+β）-sinλ=0，故①为常数；
在②中：cos（α+β）=cos（π-λ）=-cosλ，∴cos（α+β）+cosλ=0，故②为常数；
在③中：cos（α+β）=cos（π-λ）=-cosλ，∴cos（α+β）-cosλ=-2cosλ，故③不为常数；
在④中：tan （α+β）=tan（π-λ）=-tanλ，∴tan（α+β）-tanλ=-2tanλ，故④不为常数；
在⑤中：tan （α+β）=tan（π-λ）=-tanλ，∴tan（α+β）+tanλ=0，故⑤为常数；
在⑥中：α+β+λ=π，∴α+β=π-λ，∴$\frac{α+β}{2}=\frac{π}{2}-\frac{λ}{2}$，
∴tan$\frac{α+β}{2}$tan$\frac{λ}{2}$=tan（$\frac{π}{2}-\frac{λ}{2}$）tan$\frac{λ}{2}$=cot$\frac{λ}{2}$tan$\frac{λ}{2}$=1，故⑥为常数．
故选：C．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数加法定理的合理运用．