Question

20．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$（e为自然底数）．
（1）当a=e时，求函数y=f（x）的极值；
（2）是否存在正数a，使得f（x）＞a在定义域内恒成立？若存在，求此满足要求的a；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（2）构造F（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$-a＞0，求出F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，判断即可．

解答 解：（1）a=e时，f（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$，f′（x）=1-$\frac{e}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）的最小值是f（1）=2；
（2）由f（x）＞a，得：F（x）=x+$\frac{a}{{e}^{x}}$-a＞0，F′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，（a＞0），
令F′（x）＞0，解得：x＞lna，令F′（x）＜0，解得：x＜lna，
∴F（x）在（-∞，lna）递减，在（lna，+∞）递增，
∴F（x）＞F（lna）=lna+1-a＞0，
令g（a）=lna+1-a，g′（a）=$\frac{1-a}{a}$，
∴g（a）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而g（1）=0，
∴g（a）≤0，
∴不存在正数a．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．