Question

已知：等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，（n∈N^*）．
（1）若{b_n}为等差数列，且满足b₂=a₁，b₅=a₂，求数列{b_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，求数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据等比数列通项公式和a₁=3，a₄=81求得公比q，进而可求得a_n，根据b₂=a₁，b₅=a₂，求得b₂和b₅，进而求得公差d，根据等差数列的通项公式求得b_n．
（2）把a_n代入b_n=log₃a_n求得b_n，进而根据裂项法求得数列{

1

bnbn+1

}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）在等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81．
所以，由a₄=a₁q³得3q³=81，
解得q=3．
因此，a_n=3×3^n-1=3ⁿ．在等差数列{b_n}中，
根据题意，b₂=a₁=3，b₅=a₂=9，，可得，
d=

b5-b2

5-2

=2
所以，b_n=b₂+（n-2）d=2n-1
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，
则b_n=log₃3ⁿ=n，
因此有

1

b1b2

+

1

b3b2

+…+

1

bnbn+1

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=

n

n+1

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列知识的综合把握．