题目内容

（2009•上海模拟）已知无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，各项的和为S，且
lim
n→∞
(Sn-2S)=1，则其首项a1的取值范围是（　　）
分析：由S=
a1
1-q
，Sn=S•（1-qn），知Sn-2S=-S（1+qn），由
lim
n→∞
(Sn-2S)=1，知-S
lim
n→∞
(1+qn) =1，由此能求出首项a1的取值范围．
解答：解：∵S=
a1
1-q
，Sn=S•（1-qn）
∴Sn-2S=-S（1+qn），
∵
lim
n→∞
(Sn-2S)=1，
∴-S
lim
n→∞
(1+qn) =1，
∵无穷等比数列，0＜|q|＜1，
lim
n→∞
qn=0，
∴S=-1，
a1
1-q
=-1，
q=a1+1．
0＜|a1+1|＜1，
解得-2＜a1＜0且a1≠-1．
首项a1的取值范围是（-2，-1）∪（（-1，0）．
故选B．
点评：本题考查数列的极限的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等比数列的前n项和公式的灵活运用．
练习册系列答案
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（2009•上海模拟）在解决问题：“证明数集A={x|2＜x≤3}没有最小数”时，可用反证法证明．假设a（2＜a≤3）是A中的最小数，则取a′=
a+2
2
，可得：2=
2+2
2
＜a′=
a+2
2
＜
a+a
2
=a≤3，与假设中“a是A中的最小数”矛盾！那么对于问题：“证明数集B={x|x=
n
m
，m，n∈N*，并且n＜m}没有最大数”，也可以用反证法证明．我们可以假设x=
n0
m0
是B中的最大数，则可以找到x'=
n0+1
m0+1
n0+1
m0+1
（用m0，n0表示），由此可知x'∈B，x'＞x，这与假设矛盾！所以数集B没有最大数．
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6
，求实数a的值；
（2）已知关于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b＞0，x∈[0，π]的解集构成的各区间的长度和超过
π
3
，求实数b的取值范围；
（3）已知关于x的不等式组
7
x+1
＞1 
log2x+log2(tx+3t)＜2
的解集构成的各区间长度和为6，求实数t的取值范围．
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{x|0＜x≤3}
{x|0＜x≤3}
．
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2
的概率为
2
7
2
7
．
（2009•上海模拟）已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=
x4
上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

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